यदि $\vec p$ और $\vec q$ इकाई सदिश हैं,इस प्रकार कि $[\vec p, \vec q, \vec p \times \vec q] = \frac{1}{2}$,तो $\vec p$ और $\vec q$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि सदिश $a \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+b \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+c \hat{k}$ समतलीय हैं,जहाँ $(a, b, c \neq 1)$,तो $\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $V = 2i + j - k$ और $W = i + 3k$ है। यदि $U$ एक इकाई सदिश है,तो अदिश त्रिक गुणनफल $[U V W]$ का अधिकतम मान क्या है?

मान लीजिए कि सदिश $\overrightarrow{u}_1 = \hat{i} + \hat{j} + a\hat{k}$,$\overrightarrow{u}_2 = \hat{i} + b\hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{u}_3 = c\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ समतलीय हैं। यदि सदिश $\overrightarrow{v}_1 = (a+b)\hat{i} + c\hat{j} + c\hat{k}$,$\overrightarrow{v}_2 = a\hat{i} + (b+c)\hat{j} + a\hat{k}$ और $\overrightarrow{v}_3 = b\hat{i} + b\hat{j} + (c+a)\hat{k}$ भी समतलीय हैं,तो $6(a+b+c)$ का मान $..............$ है।

एक चतुष्फलक (tetrahedron) जिसका किनारे $\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$,$\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}$ हैं,का आयतन $\frac{2}{3}$ घन इकाई है। तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं जो $4$ घन इकाई आयतन वाले समांतर षट्फलक के सह-आदिम किनारों को दर्शाते हैं,तो $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ का मान ज्ञात कीजिए।